기하와 벡터 조언

(우리 바쁜 대한민국 수험생 여러분들을 위해 결론부터 말하겠습니다. 제 글은 끝까지 읽을 가치가 없을거에요. 빨간색 두줄만 보고 뒤로 버튼을 살포시 눌러주세요.)

기하와 벡터를 공부할 때 가장 중요하다고 느끼는 것 두 가지는

1. 교과서 기본 개념을 착실히 공부할 것

2. 다양한 풀이법을 생각해볼 것

입니다.

자, 여러분.

이차곡선 세개(포타쌍)의 정의를 말할 수 있나요?

스스로 답을 한번 생각해보고 글 맨 아래에서 정답을 확인해 봅시다.
포물선은 
타원은
쌍곡선은

그리고 이 정의들이 곧 이차곡선들의 성질로 연결됩니다.

어려운 문제들일수록 이 기본 성질(정의)로 돌아가서 접근하면 의외로 쉽게 풀리는 문제들이 있습니다.

다음의 예를 보실까요.

2009학년도 9월 모의평가 8번 문제입니다.



집합의 포함관계로 옳은 것을 고르라는 문제인데요.

보기 (나)에서 직선 AP랑 평행하다고 했으니까 동위각 엇각의 관계에 의해 삼각형 QPA는 이등변 삼각형이라는 것을 알수 있고, 이등변 삼각형이니까 PQ랑 QA는 같죠.

그리고 OQ랑 QA를 합하면 원의 반지름이므로 6이고요.

그래서 Q의 자취는 타원의 정의에 의해 O와 A를 초점으로 하는 타원의 일부가 됩니다.

겨우 이렇게 풀리는 문제가 정답률 47%로 절반도 못 맞췄습니다.

그리고 저는 기하와 벡터의 교과서 뿐만이 아니라, 8-나 9-나 의 교과서도 보라고 권장하고 싶습니다.

중학교 수학에서 기본적이면서도 중요한 정리들이 참 많이 나옵니다.

여러분 접현 정리 아시죠?

접선의 제곱은 두 현의 길이의 곱과 같은 거요.

자 아래의 예를 봅시다.

2005학년도 9월 모의평가 30번입니다.

사실 이 문제는 미분과 적분 문제입니다.

출제자의 의도는 삼각함수와 미분법을 연결시켜서, 수학 내적 문제를 해결할 수 있나를 평가하기 위함이었으로 추정됩니다.

그러니까, 정석대로 풀자면 y의 좌표를 미지수로 잡고 각 BPO와 각 APO를 알파 베타로 놓고 탄젠트의 덧셈(뺄셈)정리를 이용해서 나오는 미지수로 표현된 tanΘ를 미분해서 구해야 하죠.

하지만 이러면 풀이가 너무 깁니다;;

단, 접현 정리를 정확히 알고 있는 학생이라면,

어차피 Θ는 예각일테고, 0부터 90도 사이의 범위라면 Θ이 커질수록 탄젠트값도 커질것이고, 그 Θ가 가장 크려면 A,B를 지나는 원이 한 점에서 만날 때, 즉 접할 때여야 한다는 것을 알수 있죠.

그러면 풀이는 x^2=20x80으로 한줄로 끝납니다.

답은 40이죠.

이것이 미적의 맨 마지막 문제 주관식 4점짜리 문제입니다.

하지만 대부분의 고3 수험생들은 시간에 쫓기는 것이 현실입니다.

동생이 없는 학생들은 중학교 책도 구하기 힘들 것이고요....(다 버렸을테니;;)

그런 분들은 메가스터디 신승범 강사 홈에 무료특강이 올라와 있다고 하는데 그것을 보셔도 좋을 것 같아요.(김우연님 감사합니다^^;;)

교과서를 보면 기하와 벡터에서, 증명은 참 많이도 나옵니다.

(예. 직선 l이 평면 알파 위의 평행하지 않은 두 직선 a, b의 교점 O를 지날 때, l┴a, l┴b이면 l┴알파)

이런 증명들 참 귀찮아서 그냥 지나치기 쉬운데요, 꼭꼭꼭 직접 다 해보시길 바랍니다.

이런 기본적인 정리들이, 문제를 다각도로 보는 시각을 길러주고, 다양한 풀이법을 사용하여 문제를 풀게 되다 보면 쉬운 풀이법을 발견해서 실전에서 써먹을 수 있을 뿐만 아니라, 그 과정 자체에서도 수학 실력이 늘게 됩니다.

대수학이나 해석학에서는 그냥 문제에서 주어진 곧이곧대로 푸는 것이 정석일 경우가 많고, 딱히 다른 풀이법도 잘 안 떠오릅니다.

그러나 기하 파트에서는, 도형에 보조선 하나 긋는 것에 따라서 풀이 방향이 완전히 달라지고 사용할 수 있는 정리들이 무궁무진하게 있습니다.

예를 들어, 삼각형의 넓이를 구한다 치면,

1.두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기를 알때

1/2 b s sinA

2. 세 변의 길이를 알 때 

헤론의 공식

3. 외접원의 반지름의 길이 R를 알 때

2R^2 sinA sinB sinC

4. 내접원의 반지름의 길이 r를 알 때

1/2 r (a+b+c)

5. R과 r을 알 때

Rr(sinA+sinB+sinC)

6. 좌표평면에 있을 때

사선의 공식

등등의 풀이법들이 있습니다.

그리고 그 기본은 탄탄한 개념에 있습니다. 

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Outro

안녕하세요!! 이번에 첫 칼럼을 써보게 된 박현수입니다!!

일단 소감부터 말하자면......공신분들은 역시 대단합니다 b

칼럼 쓰는게 이렇게 힘든 건줄 몰랐습니다......

칼럼을 쓰겠다 마음을 먹고 오늘 실행에 옮기기까지 2주는 걸린것 같아요.

쓰는 데에도 한 2시간 걸렸구요 ㅎ

학생 때에도 감사의 마음과 고생하신다는 생각은 늘 갖고 있었지만 직접 해보니까 차원이 다르네요 ㅋ 

나름 열심히 쓴다고는 썼는데 미숙한 부분이 참 많습니다.

(앞으로는 나아질까요?)

부족한 부분, 잘못된 부분은 가차없이 지적해주시길 바라구요,

앞으로도 올릴 칼럼에 대해서 어떻게 해줬으면 좋겠다!라는 것이 있으면 뭐든지 댓글로 적어주세요.

그리고 첫 데뷔칼럼(?)에 좋은 소재거리를 제공해주신 유치원정복자님께 감사드립니다...^^

부디 이 글이 도움이 되길 바랍니다.



정답확인.
포물선은 평면 위에서 한 정점과 그 점을 지나지 않는 정직선으로부터의 거리가 같은 점 전체의 집합입니다.

타원은 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점 전체의 집합입니다.

쌍곡선은 두 정점에서의 거리의 차가 일정한 점 전체의 집합입니다.